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SQUID GAME: Die MATHEMATIK des Spiels GLASBRÜCKE

SPOILERWARNUNG!

Warnung! Dieser Artikel enthält MASSIVE Spoiler zur Netflix-Erfolgsserie "Squid Game". Wenn du noch nicht bis Episode 7 geschaut hast, empfehle ich dir, erst dann hierher zurückzukehren, wenn du dort angekommen bist. Du wurdest gewarnt! Also, lasst das Spiel beginnen!


Zugegeben, Spiel 5 (die Glasbrücke) ist schon ziemlich unfair, oder? Zumal der Frontmann noch zwei Episoden zuvor sagte, dass jeder Teilnehmer an dem Squid Game die gleichen Chancen haben solle, weil sie in der Welt da draußen ungerecht behandelt wurden. Für diese Message musste sogar der Arzt und vier pinkte Soldaten sterben.  Aber worum geht es eigentlich?


Die Spielregeln

Bevor die verbliebenen 16 Spieler mit den Regeln konfrontiert werden, müssen sie sich jeweils eine von 16 Westen aussuchen, die für sie bereitstehen. Die Westen sind mit 1 bis 16 durchnummeriert.

Nachdem sich die ersten Spieler bereits eine Weste ausgesucht haben, wird ihnen eröffnet, dass die Nummer die Startreihenfolge angibt, in der sie in dem darauffolgenden Spiel antreten werden. Wichtig: Zu diesem Zeitpunkt wissen sie noch gar nicht, worum es überhaupt gehen wird. Hätten sie es gewusst, wäre die Wahl bei vielen mit Sicherheit anders ausgefallen. Gi-Hun Seong hat zum Ende hin nur noch die Wahl zwischen Nr. 1 und Nr. 16. 

Er ist also entweder als erster oder als letzter an der Reihe. Ein weiterer Spieler drängt sich vor und bittet ihn, dass ER das Spiel beginnen möchte – ein schwerer Fehler, wie sich noch herausstellen sollte. 

Nachdem die Reihenfolge feststeht, wird allen erklärt, worum es diesmal gehen wird. Das Spiel nennt sich "Glasbrücke" und ist im Prinzip ein Plattformen-Spiel, das man vielleicht noch aus der Kindheit kennt. Nur, dass man es nicht auf einem mit Kreide bekritzelten, festen Straßenuntergrund, sondern in windigen Höhen spielt. 

Die Regeln sind recht einfach: Es gibt insgesamt 18 Ebenen, die es zu überqueren gilt. Auf jeder Stufe befinden sich zwei Glasscheiben, die für einen Laien völlig gleich aussehen. Eine der beiden Scheiben besteht aus bruchsicherem Glas, auf dem zwei Personen stehen könnten. Die andere Platte ist aus "normalem" Fensterglas gefertigt, das, wenn ein Spieler dort draufspringt, sofort zerbricht und ihn in den Abgrund stürzen lässt. Auf jeder der 18 Ebenen besteht also eine 50:50-Chance, das für einen selbst die Lichter ausgehen. 

Innerhalb von 16 Minuten müssen die Spieler alle 18 Stufen überquert haben und sicher auf der anderen Seite angekommen sein. 

Warum ist dieses Spiel aber so unfair? Bislang hing der Gewinnerfolg primär von Strategie und eigenen körperlichen Fähigkeiten ab. Diesmal spielt aber vor allem Glück eine große Rolle. Bereits mit der Auswahl der Startnummer wird ein starkes Ungleichgewicht in der Überlebenswahrscheinlichkeit geschaffen. Spieler, die früher dran sind, sterben mit einer höheren Wahrscheinlichkeit als diejenigen, die erst gegen Ende dran sind. Gi-Hun Seong hat mit Platz 16 von 16 ohne es zu wissen quasi das große Los gezogen. Allerdings darf man das (wie sich im Verlauf des Spiels herausstellt) knappe Zeitlimit nicht unterschätzen, das zu Panikreaktionen führen und die eigenen Überlebenschancen trotz der mathematisch besseren Ausgangsposition einen Misserfolg fördern kann. In diesem Artikel wollen wir uns die rein mathematische Überlebenswahrscheinlichkeit mal näher anschauen und berechnen, wie gut sich die Spieler letztendlich geschlagen haben.


Die Letzten werden die Ersten sein

Was die Chancen angeht, so sind Spieler auf den vorderen Plätzen ziemlich schlecht gestellt. Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass bspw. der erste Spieler die Brücke sicher überqueren kann, wenn er nicht in der Lage ist, das Sicherheitsglas von dem normalen Glas zu unterscheiden? Nun, in jeder der 18 Stufen hat er eine Wahrscheinlichkeit von 50% weiterzukommen, d. h. wir rechnen

$$\underbrace{0.5\cdot 0.5\cdot 0.5\cdot ...\cdot 0.5}_{18\times}$$

Insgesamt haben wir also eine Wahrscheinlichkeit von 

$$0.5^{18}$$

was einer Chance von 1 : 262 144, also insgesamt 0.00038% entspricht. Man hätte auch einfach die Anzahl aller Möglichkeiten berechnen und dann die eine, die zum Erfolg führt, auswählen können:

$$\frac{1}{2^{18}}\cdot 100\approx 0.00038\%$$

Mit jeder Plattform, die der Spieler erfolgreich überquert, steigen die Überlebenschancen für die hinteren Plätze. Diese müssen sich nur merken, wo der Vordermann aufgetreten ist. Die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt übrigens exponentiell um den Faktor 2, denn mit jeder erfolgreich überquerten Ebene fallen zwei Optionen weg.


Der Mathelehrer rechnet seine Erfolgswahrscheinlichkeit aus

Der Mathelehrer unter den 16 Teilnehmern, der als dritter dran ist, rechnet sich seine Überlebenschance aus. Vor ihm liegen noch 15 Ebenen, wodurch man auf die vorhin bereits gezeigte Art und Weise eine Wahrscheinlichkeit von

$$\frac{1}{2^{15}}\approx 0.003\%$$

erhält. Das ist immerhin 8 mal höher als noch zu Beginn, aber immer noch eine absurd geringe Chance.

In einer Panikreaktion sprintet er einfach los und schafft es so vier Plattformen erfolgreich zu überqueren, doch bei der fünften verlässt ihn sein Glück. Bei seiner Berechnung hat er jedoch nicht bedacht, dass bei den Plattformpositionen bestimmte Konstellationen sehr unwahrscheinlich sind und nahezu ausgeschlossen werden können. Würde ein Mensch im Vorfeld die Platten anordnen, wäre eine bestimmte Systematik erkennbar, denn so sehr man sich auch bemüht: Man produziert nur Pseudozufall und trotzdem wären Konstellationen wie diese

oder

sehr unwahrscheinlich. Wahrscheinlicher ist, dass die Plattformpositionen aus dem Computer gefallen sind. Im Endeffekt handelt es sich dabei auch um ein Zufallsexperiment. Vergleichen kann man das mit einem einfachen Kopf-Zahl-Spiel, wobei Kopf einer 1 und Zahl einer 0 entspricht. Der Spieleentwickler hat im Vorfeld bestimmt einen Zufallszahlengenerator bemüht, der ihm bspw. Einsen und Nullen geliefert hat, wobei 1 bedeuten könnte "Sicherheitsglas links" und 0 "Sicherheitsglas rechts". Wie du aber aus meinen Videos zu Zufallszahlengeneratoren weißt, liefert ein Computer aufgrund seiner deterministischen Natur nur Pseudozufall. "Echten" Zufall erreicht man (bisher) nur durch physikalische Phänomene, die wir noch nicht vorausberechnen können. Dazu zählt etwa die Chaosbewegung eines Blatt Papiers, atmosphärisches Rauschen oder die Polarisation von Lichtteilchen, die bei Quantencomputern zum Einsatz kommt.

Worauf will ich hinaus? Nun, die Wahrscheinlichkeit, dass der Lehrer das Spiel ebenfalls hätte gewinnen können, liegt vermutlich etwas höher als 0.003%, doch auch bei bspw. 0.05% hätte ihn die Panik gepackt. Und seien wir mal ehrlich: Wen nicht?  


Wie weit kommt ein Spieler im Durchschnitt?

Wir schauen uns jetzt mal an, wie hoch die Gewinnwahrscheinlichkeit für die hinteren Plätze aussieht. Wie viele Ebenen schafft ein Spieler denn im Durchschnitt? Dafür berechnen wir den sog. Erwartungswert. Fest steht, dass jeder Spieler, wenn er sich regelkonform und sozial verhält, mindestens eine Information beisteuert, die den anderen weiterhilft, nämlich wo sich auf einer Ebene das bruchsichere Glas befindet. Wichtig hier das Wort "mindestens", denn es könnte auch sein, dass man drei, vier oder mehr bruchsichere Glasplatten findet und wie du weißt, verdoppelt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit mit jeder Platte. Wenn also mindestens drei der 15 Teilnehmer, die vor Gi-Hun Seong dran sind, zwei Ebenen schaffen, hat er quasi gewonnen, weil der Weg zum Ziel dann vollständig geebnet ist. Vorausgesetzt er merkt sich, wo die einzelnen Spieler hingetreten sind. Doch wie man in der Folge sieht, hat er schon bei der ersten Platte so seine Probleme. 

Mit wie vielen Ebenen kann Gi-Hun Seong pro Spieler denn rechnen? Zu 100% mit einer, denn egal ob der Spieler direkt bei der Glasplatte herunterfällt oder darauf stehen bleibt. Gi-Hun Seong weiß dann, wo er besser nicht hintreten sollte. Zu 50% Prozent kann er mit zwei Informationen rechnen, denn wenn ein Spieler beim ersten Mal das bruchsichere Glas getroffen hat, gibt es automatisch eine weitere Chance. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Ereignis eintritt, liegt bei 25%. Für drei Informationen, d. h. der Spieler fällt erst bei der dritten Platte in den Abgrund, liegt bei 12.5%. Das kann man nun weiter fortführen: 

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$$

Wenn man sich die Summe hier anschaut, dann sieht man schnell, dass es sich um eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert 2 handelt:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2^k}}=2$$

Wie man auf diesen Grenzwert kommt, erfährst du in dem folgenden Video:

Demnach ist zu erwarten, dass ein Spieler zwei Stufen aufklärt bevor er stirbt. Da es sich um den Erwartungswert handelt, gibt es natürlich Spieler, die nur eine Ebene, aber auch andere, die zwei, drei oder mehr Ebenen schaffen. 


Warum haben die Spieler nicht einfach aufgegeben?

Bei den 18 Ebenen, die bis zum Ziel genommen werden müssen, ist also zu erwarten, dass die ersten 9 Teilnehmer den Weg vollständig aufklären und die restlichen 7 sich zu den glücklichen Gewinnern zählen. Das ist natürlich eine sehr einfache Betrachtung, die du mit dem Python-Programm weiter unten praktisch überprüfen kannst. Tatsächlich haben es am Ende aber nur drei Spieler auf die sichere Seite geschafft.

Wie konnte das passieren? Nun, ein Spieler hat aufgegeben und einen anderen mit in den Tod gezogen und wieder ein anderer hat vergessen bzw. konnte nicht sehen, welchen Weg der Lehrer in seinem Sprint genommen hat. Und natürlich spielen hier auch weitere menschliche Faktoren mit rein, denn wer opfert sich schon freiwillig für die anderen? Richtig, keiner und so kommt es während des Spielverlaufs zu Täuschungsversuchen bzw. großzügigen Regelausdehnungen.

Es gibt in meinen Augen aber eine Strategie, die dafür gesorgt hat, dass niemand gestorben wäre: Aufgeben! Die Spieler haben laut den Regeln die Möglichkeit, das Spiel zu beenden, wenn sie mehrheitlich dafür stimmen. Hätte bspw. der Lehrer ausgerechnet, dass dem Erwartungswert nach 9 Spieler geopfert werden müssen, um sicher ans Ziel zu gelangen, dann hätten diese 9 gegen das Fortführen der Spiele stimmen und damit mit 9 zu 7 in der Mehrheit alle Leben retten können.


Wie wahrscheinlich ist das Szenario in der Serie?

Man könnte sich jetzt natürlich die Frage stellen, wie wahrscheinlich der Spielausgang in der Serie aus mathematischer Sicht ist. Dabei lassen wir alle zwischenmenschlichen Einflussfaktoren außer Acht. Von den 16 Spielern haben es 13 nicht geschafft die 18 Ebenen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von je 50% zu überqueren. Wie verheiraten wir diese Daten nun in einer mathematischen Formel?

Ganz einfach! Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes! Wir können ihn hier anwenden, da wir in jeder Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit auf die Schutzglasplatte haben, nämlich 50%. Wir haben insgeamt 18 Glasplatten, von denen 13 zerdeppert werden und 5 in Takt bleiben. 

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{13}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$$

Da es egal ist, in welcher Reihenfolge die Platten zerbrechen, multiplizieren wir das noch mit der Anzahl an Möglichkeiten 13 aus 18 Glasplatten auszuwählen. Als Ergebnis erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, dass während des Spiels 13 von 18 Glasplatten zerbrochen werden:

$${18\choose 13}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{13}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\approx 0.0327 \approx 3.3\%$$

Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (wie in der Serie) genau drei Spieler überleben. Eigentlich ziemlich niedrig, oder? Nun, das liegt daran, dass sie ziemlich viel Pech hatten. Die Interaktionen der Spieler untereinander haben ihr Übriges dazu beigetragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie besser hätten abschneiden können, kann wie folgt berechnet werden:

$$\sum\limits_{k=0}^{12}{{18\choose k}}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{18-k}$$

Das Zeichen ganz vorne ist das sog. Summenzeichen. Wie diese Notation zu lesen ist, erfährst du in diesem Video:

Es bedeutet einfach nur "summiere die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass keine, eine, zwei, drei usw. bis zwölf Scheiben zerdeppert werden". Warum zwölf? Nun, wir wollen schließlich besser sein als in der Serie, also dürfen maximal zwölf Scheiben zu Bruch gehen. Als Ergebnis erhält man ca. 95.2%. Das Gegenereignis, also dass der Ausgang mindestens genauso schlecht wie in der Serie ist, liegt demnach bei 100%-95.2%, also 4.8%.


Könnte auch niemand überleben?

Was wäre eigentlich passiert, wären bei diesem Spiel alle Teilnehmer gestorben? Nun, dann wäre die Serie schon nach 7 statt 9 Episoden zu Ende gewesen. Die Entwickler des Squid Games haben das mit Sicherheit vorher berücksichtigt und ihrerseits Berechnungen angestellt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass niemand überlebt? Hierfür müssen wir lediglich die beiden Grenzen anpassen. Von den 16  Teilnehmern hat keiner überlebt, wenn mindestens 16 (also 16, 17 oder 18) Scheiben zu Bruch gehen (dann schafft es nämlich niemand auf die sichere Seite):

$$\sum\limits_{k=16}^{18}{{18\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{18-k}}\approx 0.000656\approx 0.066\%$$

Wie du siehst ist die Wahrscheinlichkeit extrem gering! Es war den Veranstaltern also durchaus bewusst, dass sie auch das letzte Spiel austragen müssen. Aber Moment: 17 oder 18 Platten zerbrechen? Das geht dort gar nicht, wenn es nur noch 16 Spieler gibt! Richtig, die Rechnung hier ist eine Vereinfachung, die allerdings das gleiche Ergebnis wie eine exakte Berechnung liefert.


Python Code für die Simulation

Mit dem folgenden Programm kann das Glasbrückenspiel simuliert werden.

import random

class Game:
    def __init__(self, steps, player):
        self.steps = steps
        self.player = player
        self.survived = 0
        
    def p_survived(self):
        self.survived += 1
        
    def step(self):
        self.step -= 1
        
    def simulate(self):
        for p in self.player:
            while not p.is_dead():
                self.steps -= 1
                if p.jump(self.steps) or self.steps < 0:
                    self.survived += 1
                    break
    
    def get_survived(self):
        return self.survived
        
class Player:
    def __init__(self, name):
        self.name = name
        self.p_steps = 0
        self.dead = False
        
    def jump(self, steps):
        choice = random.randint(0, 1)
        if choice == 0 and steps > 0:
            self.dead = True
        elif steps == 0:
            return True
        else:
            self.p_steps += 1
            return False
            
    def is_dead(self):
        return self.dead
        
    def get_p_steps(self):
        return self.p_steps
        
if __name__ == '__main__':
    RUNS = 100_000
    STEPS = 18
    result = 0
    
    for i in range(RUNS):
        p1 = Player('456')
        p2 = Player('067')
        p3 = Player('218')
        p4 = Player('054')
        p5 = Player('002')
        p6 = Player('007')
        p7 = Player('123')
        p8 = Player('110')
        p9 = Player('112')
        p10 = Player('119')
        p11 = Player('020')
        p12 = Player('033')
        p13 = Player('109')
        p14 = Player('111')
        p15 = Player('116')
        p16 = Player('122')
        game = Game(STEPS, [p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15,p16])
        game.simulate()
        result += game.get_survived()
        
    print(round(result/RUNS,0))

Wenn man sich das Ergebnis nach 100.000 Testläufen mal anschaut, stellt man fest, das der Erwartungswert von 7 Überlebenden schon ziemlich gut war:

Es ist immer gut, wenn man seine theoretischen Überlegungen auch durch eine praktische Simulation überprüfen kann.


Quellen