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Ist das SQUID GAME FAIR? Und was bedeutet "FAIR" aus MATHEMATISCHER SICHT?

SPOILERWARNUNG

Warnung! Dieser Artikel enthält MASSIVE Spoiler zur Netflix-Erfolgsserie "Squid Game". Wenn du noch nicht bis Episode 7 geschaut hast, empfehle ich dir, erst dann hierher zurückzukehren, wenn du dort angekommen bist. Du wurdest gewarnt! Also, lasst das Spiel beginnen!


Worum geht es eigentlich in der Serie Squid Game? Nun, 456 Menschen, die im Laufe ihres Lebens viele Schulden gemacht haben, müssen sich in 6 Spielen beweisen und bis zum Schluss überleben, um ein Preisgeld zu erhalten, womit sie nicht nur ihre Schulden zurückzahlen können, sondern vermutlich bis an ihr Lebensende nie mehr auch nur einen einzigen Gedanken an Geld verschwenden müssen. 

Bei den Spielen geht es größtenteils um Strategie und Können. Bei einigen Spielen (vor allem bei einem) dominiert jedoch Glück, was die Frage aufwirft, ob das Squid Game an sich "fair" ist. Der Frontman spricht in Episode 5 davon, dass jeder die gleichen Chancen haben soll, doch spätestens nach dem Spiel "Glasbrücke" hat sich auch der letzte Zuschauer von diesem Gedanken verabschiedet. Also, ist das Squid Game nun fair und was bedeutet fair eigentlich aus mathematischer Sicht? Können wir "Fairness" berechnen? All diese Fragen klären wir in diesem Artikel.


Was ist der Erwartungswert?

Zuvor müssen wir uns jedoch noch mit dem Begriff des Erwartungswerts beschäftigen. 

Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Ausgang eines Spiels man langfristig rechnen kann. Vereinfacht ausgedrückt handelt es sich dabei um den Durchschnitt, den man erhält, wenn ein Spiel unendlich oft durchgeführt wird. 

Als kleines Beispiel nehmen wir einen einfach Würfel zur Hand. Diesen werfen wir, weil wir gerade nichts Besseres zu tun haben, einfach ganz oft hintereinander. Was kann dabei herauskommen? Nun, die Werte von 1 bis 6. Jeder dieser Werte tritt bei einem nicht gezinkten Würfel mit derselben Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6, auf. Der Erwartungswert berechnet sich nun nach dieser Formel:

$$E(X)=\sum\limits_{i=1}^{6}{i\cdot P(X=i)}$$

Was hier so kompliziert aussieht, heißt nichts anderes als "multipliziere die Augenzahlen (das ist unser i) auf dem Würfel mit der Wahrscheinlichkeit, dass diese Augenzahl eintritt, d. h. 

  • \(1\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)
  • \(2\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
  • \(3\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
  • \(4\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
  • \(5\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
  • \(6\cdot \frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1\)

X ist dabei die Zufallsvariable, die die Werte 1 bis 6 (unsere Augenzahlen auf dem Würfel)  annehmen kann. Die Ergebnisse werden nun aufaddiert und wir erhalten:

$$E(X)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+1=3.5$$

Man kann also beim oft wiederholtem Würfelwerfen im Schnitt mit einer 3.5 als Erwartungswert rechnen. Zugegeben, dieses Beispiel ist wenig intuitiv und das Ergebnis besticht auch nicht gerade durch Alltagstauglichkeit. Wenden wir das nachher auf unser Squid Game Szenario an, wird einem der Begriff bzw. dessen Interpretation noch etwas klarer.


Wann ist ein Spiel "fair"?

Eng gekoppelt an den Erwartungswert ist der Begriff "faires Spiel". Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der Erwartungswert E(X) = 0 ist. Was bedeutet das in der Praxis? Nun, wenn wir von dem zu erwartenden Gewinn den anteiligen Einsatz abziehen, muss 0 herauskommen, damit wir von einem fairen Spiel sprechen können. 

Dazu ein kleines Beispiel: Angenommen, wir haben eine Urne mit 3 roten und 3 gelben Klemmbausteinen. Wir spielen nun folgendes Spiel: Man zieht zweimal hintereinander ohne Zurücklegen blind je einen Klemmbaustein. Wenn man einen gelben Klemmbaustein erwischt, erhält man 3€. Zieht man hingegen zwei gelbe Klemmbausteine, erhält man 8€. Tritt nichts davon ein, so erhält man 0€. Der Einsatz für das Spiel beträgt 5€. Wir führen nun in einer Tabelle die zu erwartenden Gewinne auf. 

  • Man geht mit 0€ - 5€ Verlust aus dem Spiel, wenn man keine gelben Klemmbausteine zieht.
  • Man geht mit 3€ - 5€ Verlust aus dem Spiel, wenn man einen gelben Klemmbaustein zieht.
  • Man gewinnt 8€ - 5€ = 3€, wenn man zwei gelbe Klemmbausteine zieht.
$$ \begin{array} {|r|r|}\hline & -5€ & -2€ & 3€ \\ \hline P(X=x) & & & \\ \hline \end{array} $$

Jetzt müssen wir noch die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse ausrechnen.

  • Um keinen gelben Klemmbaustein zu ziehen, müssen wir erstmal einen roten ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 0.5. Danach sind nur noch 2 der 5 verbliebenen Klemmbausteine rot. D. h. die Wahrscheinlichkeit, erneut einen roten Klemmbaustein zu ziehen, liegt bei 2/5, also 0.4. Die beiden Ergebnisse werden multipliziert und wir erhalten 0.2.
  • Um zwei gelbe Klemmbausteine zu ziehen, müssen wir im ersten Schritt direkt einen erwischen. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 0.5. Danach sind nur noch 2 der 5 verbliebenen Klemmbausteine gelb. D. h. die Wahrscheinlichkeit, erneut einen gelben Klemmbaustein zu ziehen, liegt bei 2/5, also 0.4. Die beiden Ergebnisse werden multipliziert und wir erhalten 0.2. Das ist übrigens dieselbe Wahrscheinlichkeit, wie zwei rote (also keinen gelben) Klemmbaustein zu ziehen. 
  • Genau einen gelben Klemmbaustein können wir erhalten, indem wir zuerst einen roten und dann einen gelben ziehen. Die Wahrscheinlichkeit, zuerst einen roten zu ziehen, liegt bei 0.5. Danach beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen gelben zu ziehen 3/5, also 0.6. Multiplizieren wir die beiden Ergebnisse, erhalten wir 0.3. Dasselbe gilt auch, wenn wir zuerst eine gelben und dann eine roten ziehen. Dann liegen wir insgesamt bei einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 + 0.3 = 0.6. Das Ergebnis hättest du auch erhalten können, indem du die beiden "Randwahrscheinlichkeiten" von 1 subtrahierst, also 1 - 0.2 - 0.2 = 0.6.
$$ \begin{array} {|r|r|}\hline & -5€ & -2€ & 3€ \\ \hline P(X=x) & 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ \hline \end{array} $$

Zur Berechnung des zu Gesamtgewinns, multiplizieren wir die erwartenden Gewinne mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten und summieren die Ergebnisse auf. Hier erhalten wir also: 

$$-5€\cdot 0.2+(-2€)\cdot 0.6+3€\cdot 0.2=-1.60€$$

Bei welchem Einsatz wäre dieses Spiel denn "fair"?


Wie "fair" ist denn nun das Squid Game?

Die Frage, die sich nun stellt, lautet: Was ist ein Menschenleben wert? In Episode 2 der Serie klärt uns einer der pinken Soldaten darüber auf, mit welchem Preis die Veranstalter des Squid Games ein Menschenleben bewerten, nämlich 100 Millionen Won, was nach dem aktuellen Wechselkurs 73 741.36€ entspricht. Ziemlich wenig, findest du nicht?

Diesen Wert nehmen wir nun als Basis für unsere weiteren Überlegungen. Berücksichtigen werden wir hier Spiele, bei denen es vorrangig um Glück statt um Können geht, d. h. es fallen so gut wie alle Spiele, bis auf die Murmelspiele aus Episode 6 und die Glasbrücke aus Episode 7, weg. Da viele der Murmelspiele sog. Nullsummenspiele mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von je 50% sind und jeder Spieler ein anderes Spiel mit seinem Kontrahenten vereinbart, fokussieren wir uns jetzt auf die "Glasbrücke" aus Episode 7. Dazu habe ich bereits ein Video erstellt, in dem wir die Gewinnwahrscheinlichkeit für den ersten Spieler an der Reihe berechnet haben:

Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit, ohne spezielle Fähigkeiten wie das bruchsichere von dem normalen Fensterglas unterscheiden zu können, zu überleben, beträgt für den ersten Spieler 0.00038%. Nehmen wir an, es handelt sich hier um das einzige Spiel im Squid Game, da wir für die anderen keine allgemeine Erfolgswahrscheinlichkeit angeben können und einfach mal davon ausgehen, dass wir die Spiele, bei denen es um Skill geht, zu 100% gewinnen. Dann können wir mit dem Wissen, dass das Preisgeld umgerechnet 73 741.36€ pro Kopf und insgesamt 456 mal 73 741.36€, also 33 626 060.16€ beträgt, den zu erwartenden Gewinn berechnen, indem wir analog zu unserem Klemmbaustein-Glücksspiel vorgehen. Wir berechnen also die möglichen Gewinne, die wir erzielen können. Verlieren wir das Spiel, dann ist unser Einsatz von 73 741.36€ weg. Gewinnen wir hingegen, erhalten wir

$$33\text{ }626\text{ }060.16€ - 73\text{ }741.36€ = 33\text{ }552\text{ }318.80€$$

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, liegt bei 0.0000038, d.h. wir verlieren mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 0.0000038 = 0.9999962

$$ \begin{array} {|r|r|}\hline & -73\text{ }741.36€ & 33\text{ }626\text{ }060.16€ \\ \hline P(X=x) & 0.9999962 & 0.0000038 \\ \hline \end{array} $$

Wir multiplizieren die Werte in den Spalten miteinander und addieren die Ergebnisse. 

$$33\text{ }552\text{ }318.80€\cdot 0.0000038+(-73\text{ }741.36€)\cdot 0.9999962 \approx -73\text{ }613.58€$$

Der Verlust, der beim Spielen dieses Spiels entsteht, ist selbst unter der Annahme, dass ein Menschenleben für die Veranstalter des Squid Games nur knapp 73 800€ wert ist, immens. Man sollte also tunlichst davon absehen, an diesem Spiel teilzunehmen. Man könnte jetzt natürlich argumentieren, dass man den Gegenwert des Menschenlebens nicht verliert, wenn man an dem Spiel erfolgreich teilnimmt und als Gewinner hervorgeht. Schaut man sich jedoch an, wie der Gewinner des Squid Games in seiner Zeit danach weiterlebt, könnte man aber durchaus von einem "inneren Tod" sprechen.

Wie hoch müsste denn das Preisgeld sein, damit das Spiel "fair" wird? Nun, dafür ersetzen wir das Preisgeld als Unbekannte durch die Variable x. Danach berechnen wie zuvor schon das Produkt der Spalten und addieren die Ergebnisse: 

$$(x-73\text{ }741.36€)\cdot 0.0000038+(-73\text{ }741.36€)\cdot 0.9999962 $$

Wie kommen wir nun auf das x? Ganz einfach! Indem wir den Term gleich 0€ setzen (das ist ja gerade die mathematische Bedingung für ein faires Spiel) und die Gleichung nach x auflösen. 

$$(x-73\text{ }741.36€)\cdot 0.0000038+(-73\text{ }741.36€)\cdot 0.9999962 =0€$$

Als Ergebnis erhalten wir also 

$$x\approx 19\text{ }405\text{ }600\text{ }000€$$

Da 456 Personen an dem Spiel teilnehmen, wären das insgesamt

$$19\text{ }405\text{ }600\text{ }000€\cdot 456=8\text{ }848\text{ }953\text{ }600\text{ }000$$

Würdest du bei dieser Summe mitmachen?

Ok, das ist eine Sichtweise auf die Gewinnwahrscheinlichkeit! Da wir in dem Video zum Glasbrückenspiel auch berechnet haben, dass man mit ca. 9 Personen rechnen muss, die geopfert werden müssen, damit dem Erwartungswert nach der Rest die Brücke erfolgreich überqueren kann, könnte man argumentieren, dass bei 16 Teilnehmern die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 7/16 (also 0.4375) liegt. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses läge bei 9/16, sprich 0.5625. Warum das? Nun, wenn man sich als erster eine der Westen zu Beginn aussucht (diese geben die Startreihenfolge bei der Glasbrücke an) und eine der Nummern 10 bis 16 wählt, dann kann man mit einem Gewinn rechnen.  Dann wäre das Spiel zwar immer noch nicht fair, doch es würde deutlich zu unseren Gunsten ausgehen: 

$$33\text{ }552\text{ }318.80€\cdot 0.4375+(-73\text{ }741.36€)\cdot 0.5625 \approx 14\text{ }637\text{ }659.96€$$

Diese Rechnung ist aber zu hinterfragen, da die Wahrscheinlichkeit von 7/16 lediglich aus unserem Erwartungswert hervorgeht.

Unabhängig davon stelle ich die These in den Raum, dass kein Preisgeld hoch genug ist. Warum das? Nun, ein Menschenleben ist unendlich viel wert! Der Einsatz, den man selbst in das Spiel mit einbringt, lässt sich also mit Geld nicht aufwiegen. Das Preisgeld müsste demnach unendlich hoch sein, was in unserer Definition von Geld nicht möglich ist. Auch mathematisch bekämen wir ein Problem, denn die Summe

$$\infty + (-\infty \text{ })\unicode{x21af}$$

ist unbestimmt. Unendlich kann man nämlich nicht einfach als Zahl verwenden und demnach lässt sich hier kein Preisgeld beziffern, das irgendwie zu einem Erwartungswert von 0€ führt.